Question

如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.

（1）当时，求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）依题意由抛物线方程容易得椭圆的方程，代入既得椭圆方程；（2）假设存在满足条件的实数，由抛物线和椭圆方程求交点P，使得，求得.
试题解析：（1）抛物线的焦点为,            1分
椭圆的半焦距，离心率，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，3分
所以椭圆的方程为,　                            4分
当时，椭圆的方程.                              6分
（2）假设存在满足条件的实数由，解得, 8分
，，,                    11分
所以的三条边的边长分别是，，
所以当时使得的三条边的边长是连续的自然数.                13分