Question

函数f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞1）的定义域

 

，值域

 

，当x≥1恒有f（x）≥0，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：①根据函数f（x）的解析式，被开方数大于或等于0，求出x的取值范围即可；
②利用换元法，设

4-ax

=t，求出函数y=f（x）的值域是什么；
③解不等式f（x）≥0，求出a^x≥3，再根据题意，求出a的取值范围．

解答： 解：①∵函数f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞1），
∴4-a^x≥0，
即a^x≤4；
又∵a＞1，
∴x≤log_a4；
∴f（x）的定义域为（-∞，log_a4）；
②设

4-ax

=t，t≥0，
则4-a^x=t²，
∴a^x=4-t²；
∴函数y=f（x）=4-t²-2t-1=4-（t+1）²≤4-1=3，
∴函数f（x）的值域是（-∞，3]；
③当x≥1恒有f（x）≥0，
即a^x-2

4-ax

-1≥0，
∴a^x-1≥2

4-ax

；
两边平方，得a^2x-2a^x+1≥4（4-a^x），
整理，得a^2x+2a^x-15≥0，
解得a^x≥3，或a^x≤-5（舍去），
又∵a≥1，
∴a≥3；
∴a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：（-∞，log_a4），（-∞，3]，[3，+∞）．

点评：本题考查了求函数的定义域和值域的问题，也考查了不等式恒成立的问题，在综合性题目．