题目内容
【题目】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数
被称为狄利克雷函数，其中
为实数集，
为有理数集，则关于函数
有如下四个命题：
①
；
②函数是偶函数；
③任取一个不为零的有理数
对任意的
恒成立；
④存在三个点
，使得
为等边三角形.
其中真命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
根据狄利克雷函数的解析式，对四个命题逐一分析，由此确定真命题的个数.
对于①，当
为有理数时，
，
，故①是假命题.
对于②，若
，则
；若
，则
，所以，无论是有理数或者无理数，都有
，也即函数
为偶函数，故②是真命题.
对于③，当为有理数时，
为有理数，满足
；当为无理数时，为无理数，满足
，故③是真命题.
对于④，
，使三角形
为等边三角形，故④是真命题.
综上所述，真命题的个数是
个.
故选：C
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