Question

【题目】已知函数（其中，）.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；

（3）求证：对于任意大于的正整数，都有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】【试题分析】(1)当时,求出切点的坐标和在切点处的斜率,利用点斜式写出切线方程.(2)令导函数大于零,得到,即,当时,所以.(3) 当时，,利用导数求得函数在上递增,令,得到,利用放缩法和累加法可证得原不等式成立.

【试题解析】

（1）∵，∴（）,

∴,∵,∴在点处的切线方程为.

（2）∵,∴（）,

∵在上为增函数，∴对任意恒成立.

∴对任意恒成立，

即对任意恒成立.∵时，，

∴，即所求正实数的取值范围是.

（3）当时，，

当时，，故在上是增函数.

当时，令，则当时，，所以

，所以

所以即

所以即对于任意大于 则正整数 ，都有