Question

1．四棱锥P-ABCD中，点P在平面ABCD内的射影H在棱AD上，PA⊥PD，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB⊥AD，且AB=BC=1，AD=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若直线AC与PD所成角为60°，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PH⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵PH⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PH⊥AB，
∵AB⊥AD，AD∩PH=H，AD，PH?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD…（5分）
（2）以A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz，
∵PH⊥平面ABCD，∴z轴∥PH，
则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），设AH=α，PH=h（0＜a＜2，h＞0），
∴P（0，a，h），∴$\overrightarrow{AP}$=（0，a，h），$\overrightarrow{DP}$=（0，a-2，h），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
∵PA⊥PD，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DP}$=a（a-2）+h²=0，
∵AC与PD所成角为60°，
∴|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{DP}$＞|=$\frac{|a-2|}{\sqrt{2}•\sqrt{（a-2）^{2}+{h}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴（a-2）²=h²，∴（a-2）（a-1）=0，
∵0＜a＜2，∴a=1，∵h＞0，∴h=1，∴P（0，1，1）…（7分）
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{DC}$=（1，-1，0），
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，得平面APC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）…（9分）
设平面DPC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=x-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=x-y=0}\end{array}\right.$，得平面DPC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，1，1）…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
∵二面角A-PC-D的平面角为钝角，
∴二面角A-PC-D的余弦值为$-\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．