Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），其最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）在区间[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}}$]上的减区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0在区间[0，$\frac{π}{2}}$]上有且只有一个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数周期性、单调性得出结论．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，由题意，函数y=g（x）的图象与直线y=-k在区间上只有一个交点，从而求得k的范围．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
因为f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，所以$2ω=\frac{2π}{T}=4$，即$f（x）=sin（4x+\frac{π}{6}）$．
因为$x∈[{-\frac{π}{8}，\frac{π}{4}}]$，所以$4x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$，
当$\frac{π}{2}≤4x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$时，即$\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{4}$时，f（x）为减函数，
所以f（x）的减区间为$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}]$．
（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$，再将$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到$g（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$．
因为$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，所以$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，g（x）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
若关于x的方程g（x）+k=0在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上有且只有一个实数根，
即函数y=g（x）的图象与直线y=-k在区间上只有一个交点，
所以$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤-k＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或-k=1，即$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或k=-1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．