Question

已知函数 .
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若且对任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：.

Answer 1

（Ⅰ）在单调递增；在单调递减  4分
（Ⅱ）.
（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ），令，解得
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减  4分
（Ⅱ）为偶函数，恒成立等价于对恒成立
解法1:当时，，令，解得
（1）当，即时，在减，在增
，解得，
（2）当，即时，，在上单调递增，
，符合，
综上，.                  9分 
解法2: 等价于对恒成立,
设则. 当时, ;当时, ;
时,  
 
（Ⅲ）



.   14分
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，在某区间，导数值非负，函数为增函数，导数值非正，函数为减函数。不等式证明问题，往往通过构造函数，转化成了研究函数的最值，使问题得解。本题涉及不等式恒成立问题，通过研究函数的最值，解决了问题。