Question

设函数，其中为常数．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当时,求的极值点并判断是极大值还是极小值；
（Ⅲ）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．

Answer 1

（1）当时， ，函数在定义域上单调递增
（2）时，有惟一极小值点，
（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点故可以得到函数借助于单调性来证明不等式。

试题分析：解：（1）由题意知，的定义域为，
    
当时， ，函数在定义域上单调递增．  …………4分
（2）当时有两个不同解， ，,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

	减	极小值	增

由此表可知：时，有惟一极小值点，     ………8分
（3）由(2)可知当时，函数，
此时有惟一极小值点
且 
                      …… 11分
令函数
 
 13分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，以及函数的极值，以及函数与不等式的综合运用，属于难度题。