Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²-x-1，则函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由题意得f（0）=0，由x＜0时f（x）的解析式，结合函数的奇偶性求出x＞0时f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0；
又∵x＜0时，f（x）=x²-x-1，
∴x＞0时，-x＜0；
∴f（-x）=（-x）²-（-x）-1=x²+x-1，
又f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-（x²+x-1）=-x²-x+1；
综上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
故答案为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的问题，解题时应注意题目中定义在R上的奇函数即f（0）=0，是基础题．