Question

4．已知函数y=f（$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$）的定义域为（0，2]，则函数y=f（x+1）的定义域为（-1，-$\frac{1}{5}$]．

Answer 1

分析 由函数y=f（$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$）的定义域为（0，2]，可求$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的值域，即函数f（x）的定义域，再由x+1∈（-1，-$\frac{1}{5}$]，即可求得y=f（x+1）的定义域．

解答 解：函数y=f（$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$）的定义域为（0，2]，则$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$∈（0，$\frac{4}{5}$]，
即函数f（x）的定义域为（0，$\frac{4}{5}$]，
令x+1∈（0，$\frac{4}{5}$]，
解得x∈（-1，-$\frac{1}{5}$]．
则函数y=f（x+1）的定义域为（-1，-$\frac{1}{5}$]．
故答案为：（-1，-$\frac{1}{5}$]．

点评 本题考查抽象函数定义域的求法，属基础题，注意理解函数f（x）的定义域与函数f[g（x）]定义域的区别．