Question

【题目】已知函数是上的奇函数．

(1)求的值；

(2)证明在上单调递减；

(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）

【解析】

(1)利用即可求解；

(2)利用函数单调性的定义证明即可；

(3)根据函数的单调性以及奇偶性，将不等式化为，再根据，由二次函数的性质，求出实数的取值范围．

解：(1) 由函数是上的奇函数知道其图像必经过原点，

即必有，即，解得

(2)由(1)知．任取且，则

因为，所以，所以，

又因为且，故，

所以，即

所以在上单调递减

(3) 不等式可化为

因为是奇函数，故

所以不等式又可化为

由(2)知在上单调递减，故必有

即

因此知题设条件是：对任意的，不等式恒成立

设，则易知当时，

因此知当时，不等式恒成立