Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知，直线与曲线交于， 两点，若，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， .

（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数，即可得到直线的普通方程，在利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，求得，进而得到，再由题设，即可求解的值．

试题解析：

（Ⅰ）由消去参数，得，

由， ，

得直线的极坐标方程为，

由，得，

由， 代入，得.

（Ⅱ）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立并整理得，

设点， 分别对应参数， ，则， 恰为上述方程的根，

由可得，得.

则， ，所以 ，

由，得，

即，解得或（舍去）.

故.