题目内容
【题目】【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C： 
，过点
的直线l的参数方程为： 
(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若|PM |，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值
【答案】(1) 
;(2) 
.
【解析】试题分析： 
由
得： 
，即可求得曲线
的直角坐标方程，消去参数
得直线
的普通方程
将直线
的参数方程代入到曲线
的直角坐标方程中可得关于
的二次方程，由
， 
成等比数列，可得
，变形后代入韦达定理可得关于
的方程，解出即可得到答案
解析：(1)由
得： 
∴曲线C的直角坐标方程为： 
(a > 0)
由
消去参数t得直线l的普通方程为
(2)解：将直线l的参数方程
代入
中得：
6分
设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则有
8分
∵
，∴
即
，解得
．
【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5-10）月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润
（单位：百万元）与月份代码
之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有
两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表）.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？
使用寿命 | 1个月 | 2个月 | 3个月 | 4个月 | 总计 |
材料类型 | |||||
| 20 | 35 | 35 | 10 | 100 |
| 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
参考数据：
，
.
参考公式：回归直线方程
，其中
，
.
