Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，动点P在对角线BD₁上，过点P作垂直于BD₁的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y，设BP＝x，则当x∈[1,5]时，函数y＝f(x)的值域为(　　)

A．[2，6]                        B．[2，18] 

C．[3，18]                          D．[3，6]

Answer 1

D

[解析]　当点P从点B向D₁运动时，截面的周长y越来越大，当截面经过平面AB₁C时，周长最大，当点P继续移动时，在截面AB₁C到截面A₁DC₁之间，截面周长不变，当点P继续移动时，截面周长越来越小，所以截面周长的最大值就是△AB₁C的周长．因为正方体的棱长为2，所以AC＝2，即周长为6.当x＝1时，截面的周长最小，如图，

设△EFG的边长为，BF²＋BE²＝EF²＝，又BF＝BE，所以BE＝，连接EP交FG于点M，连接BM，因为P是等边三角形EFG的中心，所以FM＝，所以EM²＝EF²－FM²＝²，因为EP＝EM，所以EP＝.又BP²＋EP²＝BE²，即1²＋，得y＝3，所以值域为[3，6](或由平面AB₁C∥平面FEG，BP＝1可知E，F，G分别是BB₁，AB，BC的中点，则△EFG的周长为△AB₁C的一半，即3)．