Question

【题目】已知函数 与 （其中 ）在 上的单调性正好相反，回答下列问题：
（1）对于 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）令 ，两正实数 、 满足 ，求证： .

Answer 1

【答案】
（1）因为 ，所以 ，

①当 时， ， 在 上为减函数；

②当a>-1时， ，

令 ，得 ，此时 在 上为增函数；

令 ，得 ，此时 在 上为减函数；

又因为 ，则 ，

①当 时， ， 在 上为增函数；

②当a>0时， ，

令 ，得 ，此时 在 上为增函数；

令 ，得 ，此时 在 上为增函数；

于是若要 与 在 上的单调性正好相反，

则必须 ，解得 ，

∴ ，

所以，函数 在 上单调递减， 上单调递增.

∴在区间 上：

对于函数 有

又 ，

∴ .

对于函数 有

又 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

综上，所求t的范围为

（2）易得 ，

由 ，得 ，

∴

∴

∴

令，设 ，则 ，

可知 在 上单调递增，在 上单调递减，

∴ ，

∴

【解析】本题主要考查不等式恒成立问题的求解，导数在研究函数中的应用，意在考查逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力．
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本不等式(基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：)．