题目内容
【题目】已知函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若设2（e+ 
）＜a＜ 
，且f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．
【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），
∴f（x）的定义域为（0，+∞）， 
= 
，
令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，对称轴x= 
，g（0）=2，
当△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
当△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，
①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．
②若a＞4，令f′（x）=0，得 
， 
，
当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．
综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）
（2）解：由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2= 
＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，
又∵ 
，a=2（ 
）， 
，e+ 
＜ ＜3+ 
，
又0＜x1＜1，解得 
．
∴f（x1）﹣f（x2）=（ 
）﹣（ 
）
=（ 
）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）
=（x1﹣x2） 
﹣a（x1﹣x2）+2ln 
=﹣（ 
）（x1+ 
）+4lnx1
= 
，
令h（x）= 
，（ 
），
则 
＜0恒成立，
∴h（x）在（ 
）单调递减，∴h（ ）＜h（x）＜h（ ），
即 
﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜ 
﹣4ln3，
故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（ 
， 
）
【解析】（1）求出f（x）的定义域为（0，+∞）， = ，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．（2）推导出f（x1）﹣f（x2）= ，令h（x）= ，（ ），则 ＜0恒成立，由此能求出f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减．
