Question

【题目】已知 分别是椭圆 的左、右焦点，离心率为 ， ， 分别是椭圆的上、下顶点， ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过 （0,2）作直线 与 交于 两点，求三角形 面积的最大值（ 是坐标原点）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）由题知 ，
∴ ，
∴ ∴ ，①
∵ ，∴ ，∴ ，②
①②联立解得 ，
∴椭圆E的方程为 .
（Ⅱ）设 ，显然直线AB斜率存在，设其方程为 ，代入 整理得 ，
则 ，即 ，
，



= .
∴O到L的距离 ，
所以三角形AOB面积 =
设 ，
所以 ，
当且仅当 ，即t=4，即 ，即 时取等号，
所以△AOB面积的最大值为 .
【解析】（Ⅰ）根据 ，结合a,b,c的关系即可求出椭圆的方程。
（Ⅱ）设出直线方程，联立直线，椭圆方程，得到交点坐标，在由点到直线的距离公式求出三角形的高，即可算出三角形面积。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．