Question

14．已知等差数列{a_n}中，若-2＜a₂＜2，1＜a₅＜8，则S₇的取值范围是（$\frac{21}{4}$，42）．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n项和公式及线性规划能求出前7项的和的范围．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，-2＜a₂＜2，1＜a₅＜8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜{a}_{1}+d＜2}\\{1＜{a}_{1}+4d＜8}\end{array}\right.$，
S₇=$\frac{7}{2}（{a}_{1}+{a}_{7}）$=7（a₁+3d）=7a₁+21d，
作出可行域四边形ABCD，
得（S₇）_A=7×$0+21×\frac{1}{4}$=$\frac{21}{4}$，
（S₇）_B=7×1+21×0=7，
（S₇）_C=7×2+21×0=14，
（S₇）_D=7×0+21×2=42．
∴S₇的取值范围是（$\frac{21}{4}$，42）．
故答案为：（$\frac{21}{4}$，42）．

点评 利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，是中档题．