Question

（08年长郡中学一模理）如图，设是椭圆的左焦点，直线为对应的准线，直线与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：对于任意的割线，恒有；

（3）求三角形△ABF面积的最大值．

Answer 1

解析:（1）∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴椭圆的标准方程为．      ………（3分）

（2）当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

当的斜率不为0时，设方程为，

代入椭圆方程整理得：．

，，．

则

 

  ，

而

∴，从而．

综合可知：对于任意的割线，恒有．         ………（8分）

（3），

即：，

当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

∴三角形△ABF面积的最大值是．                             ………（13分）