Question

（08年长郡中学一模理）（12分）已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC = AD = CD = DE = 2，

F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；

（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．

 

Answer 1

解析:（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF平面ACD，

∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F为CD中点，∴AF⊥CD．

∵DEÌ平面CDE，CDÌ平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．

   （Ⅱ）解法一：∵AB∥DE，AB(/平面CDE，DEÌ平面CDE，∴AB∥平面CDE，设平面ABC∩平面CDE＝l，则l∥AB．即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线l．

∵AB^平面ADC，∴l^平面ADC．∴l^AC，l^DC．∴ÐACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角．∵AC＝AD＝CD，∴ÐACD＝60°，∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．

（Ⅱ）解法二：如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵AC＝2，∴A(0，0，)，设AB＝x，B(x，0，)，C(0，1，0)

((AB＝(x，0，0)，((AC＝(0，1，－)，设平面ABC的一个法向量为n＝(a，b，c)，

则由((AB×n＝0，((AC×n＝0，得a＝0，b＝c，不妨取c＝1，则n＝(0，，1)．

∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为((FA＝(0，0，)．

cos＜n，((FA＞＝ eq \o(\s\up8(((FA＝，＜n，((FA＞＝60°．

∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．