Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

设函数．

（1）证明：；

（2）若不等式的解集是非空集，求的范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；

（2），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.

试题解析： （1）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，

则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|

=|x+|=|x|+≥2=2．

（2）f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．

当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；

当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；

当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞）.

不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，

则a的取值范围是．