题目内容
【题目】椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为
.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
,
两点且
,是否存在以原点
为圆心的定圆与直线
相切?若存在求出定圆的方程;若不存在,请说明理由
【答案】(1)椭圆方程为;(2)存在,方程为
.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆几何性质可知,椭圆焦点到短轴端点的距离为,即
,又离心率
,所以
,则
,所以椭圆方程为
;(2)若直线斜率
存在时,设直线
:
,将直线方程与椭圆方程联立,消去未知数
,得到关于
的一元二次方程,设
,
,然后表示出韦达定理,由于
,转化为
,即
,坐标表示为
,于是得到关于
的等式,再求原点O到直线AB的距离
,与前面的等式联立化简、整理可以得出
,最后得到圆的方程.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,
∵椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为
,
∴由题意,且
,解得
,
.
∴所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设,
,若
存在,则设直线
:
,由
,得
∴,且
,由
,知
,代入得
,原点到直线
的距离
,
当的斜率不存在时,
,得
,
,依然成立
∴点到直线
的距离为定值
.
∴定圆方程为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾,他的点评视角独特,语言犀利,给观众留下了深刻的印象,某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度,随机调查了观看了该节目的140名观众,得到如下的列联表:(单位:名)
男 | 女 | 总计 | ||||||
喜爱 | 40 | 60 | 100 | |||||
不喜爱 | 20 | 20 | 40 | |||||
总计 | 60 | 80 | 140 | |||||
p(k2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |||
k0 | 2.705 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | |||
(Ⅰ)从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样,抽取一个容量为6的样本,问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名?
(Ⅱ)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关?(精确到0.001)
(Ⅲ)从(Ⅰ)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率.
附: