Question

【题目】已知函数．

（1）判断的奇偶性；

（2）用单调性的定义证明为上的增函数；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用单调性定义，作差后注意变形，分析差的正负即可；（3）由（1）（2）知函数是奇函数，在R上递增，转化为，根据单调性可得对任意的恒成立，分类讨论即可求解．

试题解析：

（1），∵，

∴是奇函数．

（2）任取， ，且，则

，

∵，∴，

∵，

∴，即，∴在上是增函数．

（3）∵为奇函数且在上为增函数，

∴不等式化为，

∴对任意的恒成立，

即对任意的恒成立．　

①时，不等式化为恒成立，符合题意；

②时，有即．　

综上， 的取值范围为．