题目内容

已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6）， $数学公式$ =t₁ $数学公式$ +t₂ $数学公式$ ．
（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t₁=1时，不论t₂为何实数，A、B、M三点都共线；
（3）若t₁=a²，求当 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ 且△ABM的面积为12时，a的值．

解：（1） $\text{[math]}$ =t₁ $\text{[math]}$ +t₂ $\text{[math]}$ =t₁（0，2）+t₂（4，4）=（4t₂，2t₁+4t₂）．
当点M在第二或第三象限时，等价于 $\text{[math]}$ ，故所求的充要条件为t₂＜0且t₁+2t₂≠0．
（2）证明：当t₁=1时，由（1）知 $\text{[math]}$ =（4t₂，4t₂+2）．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（4，4）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂ $\text{[math]}$ ，
∴不论t₂为何实数，A、B、M三点共线．
（3）当t₁=a²时， $\text{[math]}$ =（4t₂，4t₂+2a²）．又∵ $\text{[math]}$ =（4，4）， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=- $\text{[math]}$ a²，∴ $\text{[math]}$ =（-a²，a²）．又∵| $\text{[math]}$ |=4 $\text{[math]}$ ，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |a²-1|．
∵S_△ABM=12，∴ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•d= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ |a²-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值为±2．
分析：（1）由条件求出点M的坐标，利用点M在第二或第三象限的充要条件为横坐标小于0，纵坐标不等于0，得到结果．
（2）由条件求出 $\text{[math]}$ 的坐标，证明 $\text{[math]}$ 等于一个实数与 $\text{[math]}$ 的乘积，即 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，即证明了A、B、M三点共线．
（3）先求出 $\text{[math]}$ 的坐标，用点到直线的距离公式求出点M到直线AB的距离，由三角形面积等于12解出a的值．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算法则，证明三点共线的方法，向量的模及点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，准确进行坐标运算，是解题的难点和关键．