题目内容

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|
x
x2+1
-a|+2a+
2
3
，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
1
2
]，若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=
x
x2+1
，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
分析：（1）当x=0时，求得t=0，当0＜x≤24时，把t=
x
x2+1
的分子分母同时除以x后利用基本不等式求解t的取值范围；
（2）把函数f（x）的解析式中的
x
x2+1
换为t，去绝对值后得到关于t的分段函数，利用每一段内函数的单调性求出每一段内的最大值，然后根据a的范围写出M（a）的分段函数解析式，再由每一段的表达式小于等于2求解a的取值范围，从而答案可求．
解答：解：（1）当x=0时，t=0；
当0＜x≤24时，x+
1
x
≥2（当x=1时取“=”），
∴t=
x
x2+1
=
1
x+
1
x
∈(0，
1
2
]，即t的取值范围是[0，
1
2
]．
（2）当a∈[0，
1
2
]时，记g（t）=|t-a|+2a+
2
3
，
则g(t)=
-t+3a+
2
3
，0≤t≤a
t+a+
2
3
，a＜t≤
1
2

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，
1
2
]上单调递增，
且g（0）=3a+
2
3
，g（
1
2
）=a+
7
6
，g（0）-g（
1
2
）=2(a-
1
4
)．
故M（a）=
g(
1
2
)，0≤a≤
1
4
g(0)，
1
4
＜a≤
1
2
=
a+
7
6
，0≤a≤
1
4
3a+
2
3
，
1
4
＜a≤
1
2

当0≤a≤
1
4
时，由a+
7
6
≤2，解得0≤a≤
1
4
；
当
1
4
＜a≤
1
2
时，由3a+
2
3
≤2，解得
1
4
＜a≤
4
9
．
∴当且仅当a≤
4
9
时，M（a）≤2．
故当0≤a≤
4
9
时不超标，当
4
9
＜a≤
1
2
时超标．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数最值得求法，体现了分类讨论的数学数学思想方法和数学转化思想方法，考查了计算能力，是中档题．
练习册系列答案
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省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|
x
x2+1
-a|+2a+
2
3
，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=
x
x2+1
，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．

（1）令，，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

 

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为f(x)＝|－a|＋2a＋，xÎ[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且aÎ[0，]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．

（1）令t＝，xÎ[0，24]，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

 

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