Question

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

Answer 1

分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出

1

t

的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；
（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+

2

3

．下面分类讨论：当 0＜a＜

1

4

，当

1

2

＞a≥

1

4

，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．

解答：解：（1）当x=0时，t=0；（2分）
当0＜x≤24时，

1

t

=x+

1

x

．对于函数y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+

1

x

单调递减，
当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+

1

x

单调递增，
∴y∈[2，+∞）．
综上，t的取值范围是[0，

1

2

]．
（2）当a∈（0，

1

2

]时，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+

2

3

=

3a-t+ 2 3 ，0≤ t≤a    t+a+ 2 3 ，a≤t≤ 1 2

∵g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，
g（0）-g（

1

2

）=2a-

1

2

．
故M（a）=

g( 1 2 )，0≤a≤ 1 4 g(0) 1 4 ＜ a≤ 1 2

=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 1 4 ＜ a≤ 1 2

当且仅当a≤

4

9

时，M（a）≤2，
故a∈（0，

4

9

]时不超标，a∈（

4

9

，

1

2

]时超标．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．