题目内容
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=
+2a+
，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．（1）令t=
，x∈R，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
【答案】分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出
的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；
（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+
．下面分类讨论：当 0＜a＜
，当 
＞a≥
，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．
解答：解：（1）当x=0时，t=0；（2分）
当0＜x≤24时，
=x+
．对于函数y=x+
，∵y′=1-
，
∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+
单调递减，
当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+
单调递增，
∴y∈[2，+∞）．
综上，t的取值范围是[0，
]．
（2）当a∈（0，
]时，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+
=
∵g（0）=3a+
，g（
）=a+
，
g（0）-g（
）=2a-
．
故M（a）=
=
当且仅当a≤
时，M（a）≤2，
故a∈（0，
]时不超标，a∈（
，
]时超标．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．
的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+
．下面分类讨论：当 0＜a＜，当 ＞a≥，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．解答：解：（1）当x=0时，t=0；（2分）
当0＜x≤24时，
=x+．对于函数y=x+，∵y′=1-，∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+
单调递减，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+
单调递增，∴y∈[2，+∞）．
综上，t的取值范围是[0，
]．（2）当a∈（0，
]时，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+=∵g（0）=3a+
，g（）=a+，g（0）-g（
）=2a-．故M（a）=
=当且仅当a≤
时，M（a）≤2，故a∈（0，
]时不超标，a∈（，]时超标．点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．
练习册系列答案
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与时刻
（时）的关系为
，其中
是与气象有关的参数，且
，若用每天
．
，
，求t的取值范围；