Question

18．已知四面体ABCD各棱长都等于1，点E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AF与CE所成角的余弦值为（　　）

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得四面体A-BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．利用等边三角形的性质、勾股定理、余弦定理即可得出．

解答 解：由题意可得四面体A-BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，
故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．
不妨设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AF=$\sqrt{3}$=CE，KF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，KE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
AK=$\sqrt{A{E}^{2}+K{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
△AKF中，由余弦定理可得 cos∠AFK=$\frac{A{F}^{2}+F{K}^{2}-A{K}^{2}}{2AF•FK}$=$\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了正四面题的性质等边三角形的性质、勾股定理、余弦定理、空间位置关系，考查了推理能力，属于中档题．