Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，0＜x≤2}\\{f（4-x），2＜x＜4}\end{array}$，若当方程f（x）=m有四个不等实根x₁，x₂，x₃，x₄（x₁＜x₂＜x₃＜x₄）时，不等式kx₃x₄+x₁²+x₂²≥k+11恒成立，则实数k的最小值为 （　　）

• A． $\frac{9}{8}$
• B． 2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{25}{16}$
• D． $\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，0＜x≤2}\\{f（4-x），2＜x＜4}\end{array}$的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x₁•x₂=1，x₁+x₂＞$2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=2，（4-x₃）•（4-x₄）=1，且x₁+x₂+x₃+x₄=8，则不等式kx₃x₄+x₁²+x₂²≥k+11恒成立，可化为：k≥$\frac{11-（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$恒成立，求出$\frac{11-（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，0＜x≤2}\\{f（4-x），2＜x＜4}\end{array}$的图象如下图所示：

当方程f（x）=m有四个不等实根x₁，x₂，x₃，x₄（x₁＜x₂＜x₃＜x₄）时，
|lnx₁|=|lnx₂|，即x₁•x₂=1，x₁+x₂＞$2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=2，
|ln（4-x₃）|=|（4-x₄）|，即（4-x₃）•（4-x₄）=1，
且x₁+x₂+x₃+x₄=8，
若不等式kx₃x₄+x₁²+x₂²≥k+11恒成立，
则k≥$\frac{11-（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$恒成立，
由$\frac{11-（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$=$\frac{11-{（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}{4（{x}_{3}+{x}_{4}）-16}$=$\frac{13-{（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）}^{2}}{16-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）-4$+\frac{3}{{（x}_{1}+{x}_{2}）-4}$+8]≤2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故k≥2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故实数k的最小值为2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．