Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程；

(2)求证：＝0；

(3)求△F₁MF₂面积．

Answer 1

解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x²－y²＝λ.

∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为x²－y²＝6.

(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，

∴c＝2，

∴F₁(－2，0)，F₂(2，0)，

∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，

∴＝(3＋2)×(3－2)＋m²

＝－3＋m²，

∵M点在双曲线上，∴9－m²＝6，即m²－3＝0，

 (3)△F₁MF₂的底|F₁F₂|＝4，由(2)知m＝±.

∴△F₁MF₂的高h＝|m|＝，∴S△F₁MF₂＝6.