Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；

（Ⅱ）设函数.当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围.（为自然对数底数）

Answer 1

【答案】(1) 极小值为;(2) 实数的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）根据函数的切线的几何意义，得到，即，解得.从而得到导函数，再研究导函数的正负，得到原函数的单调性从而得到极值；（2）构造函数令 ，只需在区间上的最小值小于零，转化为函数最值问题。对构造的函数求导，研究单调性求最值即可。

（1），

因为曲线在点处的切线与直线的垂直，

所以，即，解得.

所以.

∴当时， ， 在上单调递减；

当时， ， 在上单调递增；

∴当时， 取得极小值，

∴极小值为.

（2）令 ，

则，欲使在区间上上存在，使得，

只需在区间上的最小值小于零.

令得， 或.

当，即时， 在上单调递减，则的最小值为，

∴，解得，

∵，∴；

当，即时， 在上单调递增，则的最小值为，

∴，解得，∴；

当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，

则的最小值为，

∵，∴.

∴，此时不成立.

综上所述，实数的取值范围为