Question

设函数，其中.

（1）若，求在[1,4]上的最值；

（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（3）求证：不等式恒成立.

 

Answer 1

（1）最小值为，最大值为；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导，利用单调性即可得在[1,4]上的最值；（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，即在有两个不等根.即在有两不等实根.由此即可得实数的取值范围；（3）可变为.令，可知，先证得恒成立即可.

试题解析：（1）令（舍），

所以在[1,2]单调递减，在[2,4]上单调递增.

∴

∴

（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，即在有两个不等根.

即在有两不等实根.

令，则.

（3）设，

求导得，.

所以在上单调递增，所以

即成立，令即得.

考点：1、导数的应用；2、导数与不等式.