Question

【题目】已知函数， ，其中是的导函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ） ，切线的斜率，所以切线方程为，即．

（Ⅱ）在上恒成立，即在上恒成立，即，构造求最小值即可.

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，且，

由导数的几何意义所求切线的斜率，

所以所求的切线方程为，即．

（Ⅱ）， ，

∴在上恒成立，

即，即在上恒成立，即．

令，则，

令， ，

当时， ，∴在上单调递增．

∴，∴（），

∴，∴在上单调递增，当然在上也单调递增，

∴，

∴．

点晴:本题主要考查导数与切线，导数与极值点、不等式等知识. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性,最值问题处理．