Question

【题目】（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）

（2）设是虚数，是实数，且

（i）求的值及的实部的取值范围；

（ii）设，求证：为纯虚数；

（iii）在（ii）的条件下求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析；（iii）

【解析】

（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得和，利用的范围求得的范围；（ii）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii）将整理为，，利用基本不等式求得最小值.

（1）

设，则

，解得：

（2）（i）设且

为实数 ，整理可得：

即

（ii）

由（i）知：，则

且

是纯虚数

（iii）

令，则，

（当且仅当时取等号）

即的最小值为：