Question

如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA中点。

（1）求证：直线BD⊥平面OAC；
（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；
（3）求点A到平面OBD的距离。

Answer 1

（1）详见解析；（2）30°；（3）.

试题分析：方法一：向量法以A为原点，AB，AD，AO分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A－xyz (1）利用向量的数量积的坐标运算与垂直的关系，∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)∴＝0，＝－1＋1＝0∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A故BD⊥平面OAC ；
（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)[ K则：
∴＝60°故：MD与平面OAC所成角为30°；
（3）设平面OBD的法向量为＝(x，y，z)，则
取＝(2，2，1)则点A到平面OBD的距离为d＝；
方法二：几何法（1）由线面垂直的的判断定理证明，由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD，∵底面ABCD是边长为1的正方形∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC ；（2）先构造线面所成的角，设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角，又由于∵MD＝，DE＝∴直线MD与平面OAC折成的角为30°；（3）构造点到面的距离，作AH⊥OE于点H，∵BD⊥平面OAC∴BO⊥AH
线段AH的长就是点A到平面OBD的距离，有AH＝可知点A到平面OBD的距离为.
试题解析：方法一：以A为原点，AB，AD，AO分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A－xyz。
（1）∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)
∴＝0，＝－1＋1＝0
∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A
故BD⊥平面OAC                                     4分
（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)
则：
∴＝60°
故：MD与平面OAC所成角为30°                  8分
（3）设平面OBD的法向量为＝(x，y，z)，则

取＝(2，2，1)
则点A到平面OBD的距离为d＝      12分
方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。
∵底面ABCD是边长为1的正方形
∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC                            4分
（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角
∵MD＝，DE＝
∴直线MD与平面OAC折成的角为30°                   8分
（3）作AH⊥OE于点H。
∵BD⊥平面OAC
∴BO⊥AH
线段AH的长就是点A到平面OBD的距离。
∴AH＝
∴点A到平面OBD的距离为                          12分