Question

已知曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（，0）与定直线l₁：x=的距离之比为常数．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）以曲线c的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求•的最小值，并求此时圆T的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用条件，建立方程，化简，即可求曲线c的轨迹方程；
（2）用坐标表示出向量的数量积，再用配方法求最值，求出M的坐标，代入圆的方程，即可求得结论．
解答：解：（1）因为曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（，0）与定直线l₁：x=的距离之比为常数
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，所以．
由已知T（-2，0），则=（x₁+2，y₁），=（x₁+2，-y₁），
∴•=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+）²-．
由于-2＜x₁＜2，故当x₁=-时，•取得最小值为-．
此时，y₁=，故M（-），
又点M在圆T上，代入圆的方程得到．
故圆T的方程为：．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积公式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．