Question

已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点F（1，0）的距离小1，
（I）求曲线C的方程；
（II）过F作弦PQ、RS，设PQ、RS的中点分别为A、B，若

PQ

•

RS

=0，求|

AB

|最小时，弦PQ、RS所在直线的方程；
（III）是否存在一定点T，使得

AF

=λ

TB

-

FT

？若存在，求出P的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据抛物线定义可知曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，进而可得抛物线的方程．
（II）设l_PQ：y=k（x-1），代入抛物线消去y，得到一元二次方程，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而可得点A的坐标，根据

PQ

•

RS

=0，可知PQ⊥RS，进而可得|

AB

 |的表达式，进而可知当k=±1时|

AB

|最小值．答案可得．
（III）根据

AF

=λ

TB

-

FT

推断出

AT

=λ

TB

，进而可知即A，T，B三点共线由（II）可得直线AB的方程整理得（1-k²）y=k（x-3）进而可知直线AB过定点（3，0）．

解答：解：（I）由条件，M到F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
所以，曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，其方程为y²=4x
（II）设l_PQ：y=k（x-1），代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由韦达定理

x1+x2= 2(k2+2) k2 x1x2=1

∴xA=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

=1+

2

k2

，yA=k(xA-1)=

2

k

∴A(1+

2

k2

，

2

k

)∵

PQ

•

RS

=0，
∴PQ⊥RS只要将A点坐标中的k换成-

1

k

，得B（1+2k²，-2k）
∴|

AB

|=

(1+ 2 k2 -(1+2k2))2+( 2 k +2k)2

=

4 k4  +4k4+ 4 k2 +4k2

≥4（当且仅当k=±1时取“=”）
所以，|

AB

|最小时，弦PQ、RS所在直线的方程为y=±（x-1），
即x+y-1=0或x-y-1=0
（III）∵

AF

=λ

TB

-

FT

?

AF

+

FT

=λ

TB

?

AT

=λ

TB

，
即A，T，B三点共线
∴是否存在一定点T，使得

AF

=λ

TB

-

FT

，
即探求直线AB是否过定点
由（II）知，直线AB的方程为y+2k=

-2k- 2 k

2k2+1-( 2 k2 +1)

(x-2k2-1)
即（1-k²）y=k（x-3），
∴直线AB过定点（3，0）
故存在一定点T（3，0），
使得

AF

=λ

TB

-

FT

．

点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了综合运用所学知识和运算的能力．