Question

（2012•崇明县二模）已知曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（

3

，0）与定直线l₁：x=

4 3

3

的距离之比为常数

3

2

．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；
（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求

TM

•

TN

的最小值，并求此时圆T的方程．

Answer 1

分析：（1）利用动点P（x，y）到定点F₁（

3

，0）与定直线l₁：x=

4 3

3

的距离之比为常数

3

2

，建立方程，化简，即可得到椭圆的标准方程；
（2）由题意，可知斜率k存在，设l：y-

1

2

=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，即可求直线的斜率，从而可得直线的方程；
（3）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，用坐标表示出

TM

•

TN

，利用配方法，确定最小值为-

1

5

，可得M的坐标，从而可求圆T的方程．

解答：解：（1）∵动点P（x，y）到定点F₁（

3

，0）与定直线l₁：x=

4 3

3

的距离之比为常数

3

2

．
∴

(x-3)2+y2

|x- 4 3 3 |

=

3

2

；
所以椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）由题意，可知斜率k存在，设l：y-

1

2

=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
因为过点Q（1，

1

2

）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，所以

4k(2k-1)

1+4k2

=1，解得k=-

1

2

．
此时△＞0，所以直线l：y-

1

2

=-

1

2

（x-1），即l：y=-

1

2

x+1．
（3）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，所以y12=1-

x12

4

．
由已知T（-2，0），则

TM

=(x1+2，y1)，

TN

=(x1+2，-y1)，
∴

TM

•

TN

=(x1+2，y1)•(x1+2，-y1)=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故当x₁=-

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

．
此时y1=

3

5

，故M（-

8

5

，

3

5

），又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=

13

25

．
故圆T的方程为：(x+2)2+y2=

13

25

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．