Question

已知曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（，0）与定直线l₁：x=的距离之比为常数．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；
（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用动点P（x，y）到定点F₁（，0）与定直线l₁：x=的距离之比为常数，建立方程，化简，即可得到椭圆的标准方程；
（2）由题意，可知斜率k存在，设l：y-=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，即可求直线的斜率，从而可得直线的方程；
（3）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，用坐标表示出，利用配方法，确定最小值为-，可得M的坐标，从而可求圆T的方程．
解答：解：（1）∵动点P（x，y）到定点F₁（，0）与定直线l₁：x=的距离之比为常数．
∴；
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意，可知斜率k存在，设l：y-=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
因为过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，所以，解得k=-．
此时△＞0，所以直线l：y-=（x-1），即l：y=．
（3）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，所以．
由已知T（-2，0），则，，
∴=．
由于-2＜x₁＜2，故当x₁=-时，取得最小值为-．
此时，故M（-，），又点M在圆T上，代入圆的方程得到．
故圆T的方程为：．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．