Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，一条准线为l：x=4，若椭圆C与x轴交于A、B两点，P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA交直线l于点M，直线PB交直线l于点N，记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求k₁•k₂的值；
（3）求证：以MN为直线的圆过x轴上的定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x₀，y₀），则k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，由此能求出k1k2=

3 4 (4-x02)

x02-4

=-

3

4

．
（3）设M（4，y₁），N（4，y₂），则k1=kAM=

y1

6

，k2=kAN=

y2

2

，从而y₁y₂=-9，由此能证明以MN为直线的圆过x轴上的定点（7，0），（1，0）．

解答： （1）解：∵

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，解得a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解：设P（x₀，y₀），∵A（-2，0），B（2，0），
∴k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，
∴k1k2=

y02

x02-4

，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，
∴y02=

3

4

(4-x02)，
∴k1k2=

3 4 (4-x02)

x02-4

=-

3

4

．
（3）证明：设M（4，y₁），N（4，y₂），
则k1=kAM=

y1

6

，k2=kAN=

y2

2

，
∴k₁k₂=

y1y2

12

，
又k1k2=-

3

4

，∴

y1y2

12

=-

3

4

，∴y₁y₂=-9，
∵MN的中点为Q（4，

y1+y2

2

），NM=|y₁-y₂|，
∴以MN为直径的圆方程为(x-4)2+(y-

y1+y2

2

)2=

(y1-y2)2

4

，
令y=0，得（x-4）²=-y₁y₂=9，
解得x=1或x=7，
∴以MN为直线的圆过x轴上的定点（7，0），（1，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率乘积为定值的求法，考查以MN为直线的圆过x轴上的定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．