Question

【题目】（原创题）已知点是椭圆和抛物线 的公共焦点， 是椭圆的长轴的两个端点，点是与 在第二象限的交点，且.

(I) 求椭圆 的方程；

(II) 点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.直线交椭圆 于两点，设△的面积为，△的面积为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（I）由抛物线的定义可得的的坐标，从而求得，由椭圆的定义可得，结合，可得椭圆方程；(II)，利用导数的几何意义，可得 ，，求得联立 消去得，由韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.

（I）易知，所以焦点，椭圆的另一焦点为

由抛物线定义知，

从而，

由两点间距离公式可得

又由椭圆定义得：,

∴，

故所求椭圆方程为：

(II)由对称性，不妨设，

再设 ,

由得,

①

②

由①②解得

所以有： ③

④

由点斜式得⑤

③④代入⑤得：

联立 消去得，

又设 ，

则，

到之间的距离为，

，

当且仅当时，.