Question

6．已知Rt△ABC中，周长为定值L，求该三角形面积的最大值．

Answer 1

分析 设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，两次运用均值不等式即可求解．

解答 解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为S，周长L，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=L≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$．（当且仅当a=b时取等号）
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$）²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}{L}^{2}$．
故当且仅当a=b=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L，该三角形的面积最大，且为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}{L}^{2}$．

点评 利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．