题目内容
14．求y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}$（x∈（0，+∞））值域．分析 根据x＞0，原函数解析式的分子分母同除以x并分离常数即可得到$y=1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$，根据基本不等式有$x+\frac{1}{x}≥2$，从而求出$\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$的范围，进而便可得出y的范围，即求出该函数的值域．
解答 解：∵x＞0；
∴$y=\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}+x+1}=\frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1}=1-\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}$；
$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1时取“=”；
∴$x+\frac{1}{x}+1≥3$；
∴$0＜\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}≤\frac{2}{3}$；
∴$\frac{1}{3}≤y＜1$；
∴该函数的值域为$[\frac{1}{3}，1）$．
点评 考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，基本不等式在求值域上的运用，以及不等式的性质．
练习册系列答案
相关题目
5．已知关于x不等式2x2+bx-c＞0的解集为{x|x＜-1或x＞3}，则关于x的不等式bx2+cx+4≥0的解集为（ ）
| A． | {x|x≤-2或x≥$\frac{1}{2}$} | B． | {x|x≤-$\frac{1}{2}$或x≥2} | C． | {x|-$\frac{1}{2}$≤x≤2} | D． | {x|-2≤x≤$\frac{1}{2}$} |