Question

4．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点M（0，2）和它到定直线y=0的距离相等，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过定点M作直线l与曲线C相交于A、B两点，若点N是点M关于原点对称的点，求△ANB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=4（y-1）}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出△ANB面积的最小值．

解答 解：（1）设P（x，y），
∵动点P到定点M（0，2）和它到定直线y=0的距离相等，
∴$\sqrt{（x-0）^{2}+（y-2）^{2}}$=|y|，
整理，得：x²+y²-4y+4=y²，
即x²=4（y-1）．
∴曲线C的方程为x²=4（y-1）．
（2）∵定点M（0，2），∴直线l的斜率不存在时，直线l为x=0，不成立．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=4（y-1）}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
△=16k²+16＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（16{k}^{2}+16）}$=4（1+k²），
∵点N是点M关于原点对称的点，∴N（0，-2），
点N到直线AB的距离d=$\frac{|0+2+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△ANB面积S_△ANB=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{1}{2}×4（1+{k}^{2}）×\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=8$\sqrt{1+{k}^{2}}$≥8，
∴k=0时，△ANB面积的最小值为8．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．