Question

6．四面体ABCD及其三视图如图所示，点E、F、G、H分别是棱AB、BD、DC、CA的中点．
（1）证明：四边形EFGH是矩形；
（2）求四面体ABCD的表面积．
（3）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：四边形EFGH是平行四边形，AD⊥平面BDC，即可证明四边形EFGH是矩形；
（2）S_{四面体ABCD}=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD+S_△ABC，即可求四面体ABCD的表面积．
（3）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的方法求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

解答 （1）证明：由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1．
由题设可知，BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．
EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：由三视图可知，BD=DC=2，AD=1，则有AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$
∴S_△ABD=S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×1$=1，S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$
∴S_{四面体ABCD}=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD+S_△ABC=4+$\sqrt{6}$
（3）解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），
∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，
得E（1，0，$\frac{1}{2}$），F（1，0，0），G（0，1，0）．
∴$\overrightarrow{FE}$=（0，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FG}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{BA}$=（-2，0，1）．
设平面EFGH的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}z=0\\-x+y=0\end{array}$取$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴sin θ=|cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查面积的计算，考查向量方法的运用，正确求出平面的法向量是关键．