题目内容

设x=1和x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）清楚函数的导数，利用函数的极值点，得到a、b的关系式，即可求a，b的值；
（2）利用函数的导数大于0，得到不等式，求解即可得到函数的单调增区间，函数的单调减区间．
解答： 解：（1）函数f（x）=alnx+bx2+x，∴f′（x）=
a
x
+2bx+1，
∵x=1和x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点，
∴f′（1）=0，f′（2）=0，
可得：
a+2b+1=0
1
2
a+4b+1=0
，解得
a=-
2
3
b=-
1
6
，
（2）令f′（x）=
-2
3x
-
1
3
x+1＞0，（x＞0），即x2-3x+2＜0，（x＞0），可得1＜x＜2
∴f（x）在（2，+∞）及（0，1）上是减函数，在（1，2）上为增函数．
点评：本题考查函数的导数的应用，极值的求法单调区间的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
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设函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
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已知函数f（x）=xlnx+1．
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（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象恒在直线y=kx上方，求实数k的取值范围；
（3）证明：当n∈N*时，ln（n+1）＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
．
已知f（x）=-
4+
1
x2
，点Pn（an，-
1
an+1
）在曲线y=f（x）上（n∈N*）且a1=1，an＞0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足
1
bn
=-
1
an2
-n+1，对于任意n≥2，n∈N*都有λbn+
1
bn+1
≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．
已知函数f（x）=2x3-9ax2+12a2x，（a＞0）．
（1）若a=1，问函数f（x）图象过原点的切线有几条？求出切线方程；
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已知U=R，B={x|x＞1}，求∁UB．
已知f（x）=2x3+3ax2-12a2x+2a，a∈R．
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已知函数f（x）=ex+ax
（1）当-e＜a≤0时，证明：对于任意x∈R，f（x）＞0成立；
（2）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：g（x）=exlnx-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．
在△ABC中，∠A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2（
A
2
）=b+c，则△ABC的形状是
 
．

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