题目内容

三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC与AB所成角的余弦值．
如图所示，
∵∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=
AC2+BC2
=
22+(
13
)2
=
17
，
cos∠BAC=
AC
AB
=
2
17
=
2
17
17
，cos＜
BA
，
AC
＞=-
2
17
17
；
在Rt△ABP中，由勾股定理可得PA=
PB2-AB2
=
(
29
)2-(
17
)2
=2
3
；
在Rt△APC中，由勾股定理可得PC=
AC2+PA2
=
22+(2
3
)2
=4，
cos∠ACP=
AC
CP
=
2
4
=
1
2
，cos＜
AC
，
CP
＞=-
1
2
．
∵
BP
=
BA
+
AC
+
CP
，好
∴
BP
2=(
BA
+
AC
+
CP
)2=
BA
2+
AC
2+
CP
2+2
BA
•
AC
+2
BA
•
CP
+2
AC
•
CP
，
∴(
29
)2=(
17
)2+22+42+2×
17
×2cos＜
BA
，
AC
＞+2×
17
×4cos＜
BA
，
CP
＞+2×2×4×cos＜
AC
，
CP
＞，
即29=17+4+16+4
17
×(-
2
17
17
)+8
17
cos＜
BA
，
CP
＞+16×(-
1
2
)．
化为cos＜
BA
，
CP
＞=
17
17
．
∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为
17
17
．
练习册系列答案
相关题目
已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.
（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；
（2）求S△∶S△ABC.
已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．
求证：l⊥α
如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求证：BN⊥平面C1MN．
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B为直二面角．
（1）求直线AD1与直线DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小．
如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是
3
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A1BD的距离．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=2
2
，则AC1与面BDD1所成角的大小是______．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A1BD；
（2）求二面角D-BA1-A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B1到平面A1BD的距离．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．
（ I）求二面角C-DE-C1的正切值；（ II）求直线EC1与FD1所成的余弦值．

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