题目内容

如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求证：BN⊥平面C1MN．
以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，
（1）依题意，A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），
∴
BA1
=（1，-1，2），
CB1
=（0，1，2），
∴
BA1
•
CB1
=1×0+（-1）×1+2×2=3，
又|
BA1
|=
6
，|
CB1
|=
5
，
∴cos＜
BA1
，
CB1
＞=
BA1
•
CB1
|
BA1
|•|
CB1
|
=
30
10
…6分
证明：（2）A1（1，0，2），C1（0，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（
1
2
，
1
2
，2），∴
C1M
=（
1
2
，
1
2
，2），
C1N
=（1，0，-1），
BN
=（1，-1，1），
∴
C1M
•
BN
=
1
2
×1+
1
2
×（-1）+1×0=0，同理可求
C1N
•
BN
=0，
∴
C1M
⊥
BN
，
C1N
⊥
BN
，C1M∩C1N=C1，
∴BN⊥平面C1MN…12分．
练习册系列答案
相关题目
如图,在三棱柱ABCA′B′C′中,点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的重心,从K、H、G、B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为(　　)

A.K                B.H         C.G               D.B′
下列命题中：
（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；
（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.
其中正确的个数有_____________。
正方体ABCD－A1B1C1D1中，在所有的棱、面对角线、体对角线中，与AB垂直的线段的条数是（　　）
A．7条B．12条C．16条D．18条
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
已知
a
=（2，-1，3），
b
=（-1，4，-2），
c
=（3，2，λ），若
a
、
b
、
c
三向量共面，则实数λ等于（　　）
A．2B．3C．4D．5
三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC与AB所成角的余弦值．
如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求
BN
的模；
（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，点D是BC上一点，且AD⊥C1D．
（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求证：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．

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