题目内容

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B为直二面角．
（1）求直线AD1与直线DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小．
（1）以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，则H即为D1在平面ABC上的射影．
∵AB=4，AD=3，∴AC=5，DH=
12
5
，HN=
27
25
，HM=
64
25
，D1(
27
25
，
64
25
，
12
5
)，…（6分）
∴
AD1
=(
27
25
，
64
25
，
12
5
)-(0，4，0)=(
27
25
，
-36
25
，
12
5
)，
DC
=(3，0，0)-(3，4，0)=(0，-4，0)，
所以cos＜
AD1
，
DC
＞=
AD1
•
DC
|
AD1
||
DC
|
=
12
25
．…（10分）
（2）设平面D1BC的法向量为
n
=(a，b，c)，
BC
=(3，0，0)，
BA
=(0，4，0)，
∵
n
•
BC
=0，
n
•
D1B
=0，∴
a=0
27a+64b+60c=0
∴
n
=(0，-15，16)．
设平面D1BA的法向量为
m
=(x，y，z)，
∵
m
•
BA
=0，
m
•
D1B
=0，
∴
y=0
27x+64y+60z=0
，∴
m
=(-20，0，-9)．…（14分）
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=-
144
481
，
∴sinθ=
1-(
144
481
)2
=
25
337
481
．…（16分）
练习册系列答案
相关题目
于直线m、n与平面α、β,有下列四个命题:
①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;
④若m∥α, n⊥β且α⊥β,则m∥n.
其中真命题的序号是(　　)
A．①②B．③④C．①④D．②③
如图02，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AA1、BB1、BC上的点，PQ∥AB，C1Q⊥PR，求证：∠D1QR=90°．
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CD上．
（1）求证：EB1⊥AD1；
（2）若E是CD中点，求EB1与平面AD1E所成的角；
（3）设M在BB1上，且
BM
MB1
=
2
3
，是否存在点E，使平面AD1E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．
三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC与AB所成角的余弦值．
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=
2
，E、F分别是AB、CD的中点
（1）求证：D1E⊥平面AB1F；
（2）求直线AB与平面AB1F所成的角；
（3）求二面角A-B1F-B的大小．
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB、BC的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直线SN与平面CMN所成角的大小．
如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；
（3）求点A到面EFG的距离．

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