Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{5}{3}$，3a_n+1-2a_n=2n+5．
（1）求证：数列{a_n-2n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由条件构造3[a_n+1-2（n+1）+1]=2（a_n-2n+1），再由等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得a_n-2n+1=（$\frac{2}{3}$）ⁿ，即a_n=（$\frac{2}{3}$）ⁿ+（2n-1），再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到．

解答 解：（1）证明：数列{a_n}满足a₁=$\frac{5}{3}$，3a_n+1-2a_n=2n+5，
可得3[a_n+1-2（n+1）+1]=2（a_n-2n+1），
令b_n=a_n-2n+1，则b_n+1=$\frac{2}{3}$b_n，
且b₁=a₁-2+1=$\frac{2}{3}$，
则数列{a_n-2n+1}为首项和公比均为$\frac{2}{3}$的等比数列；
（2）由（1）可得a_n-2n+1=（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
即a_n=（$\frac{2}{3}$）ⁿ+（2n-1），
数列{a_n}的前n项和S_n=[$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{9}$+…+（$\frac{2}{3}$）ⁿ]+（1+3+…+2n-1）
=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}）}{1-\frac{2}{3}}$+$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）
=n²+2-$\frac{{2}^{n+1}}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，以及数列的求和方法：分组求和，同时考查构造法，属于中档题．